Mathematics

函数与极限

函数的极限

定义

极限：

左极限：

右极限：

性质

存在的充要条件：

唯一性：

局部有界性：

局部保号性：，小于0同理

极限运算法则

• 有限个无穷小的和是无穷小（任意个为Undefined）
• 有限个无穷小（大）的积是无穷小（大）（任意个为Undefined）
• 有界函数乘无穷小的积是无穷小

线性运算性质

（c为常数）

（n为正整数）

括号穿透

极限存在准则 两个重要极限

夹逼准则

重要极限

• 证明：

• 证明：，证明极限存在，定义其为e

无穷小的比较

常用等价无穷小

连续函数的性质

介值定理

导数与微分

连续不一定可导（可微）；可导（可微）一定连续

不是明确可导的函数，不能直接写，而要先写存在

求导法则

反函数

单调、可导、且，最后记得化作

复合函数

常用公式表及推导方法

原函数	导数	推导
		-
		-
		-
		同上
		同上
		同上
		-

常用高阶导数

原函数	n阶导

隐函数及参数方程的导数

• 隐函数

  例子：

• 参数方程

微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

拉格朗日中值定理

满足：1：在连续；2：在(a,b)可导
则：

柯西中值定理

满足：1：在连续；2：在可导；3：
则：

洛必达法则

设：
(1)
(2) 的某去心领域内，都存在且
(3) 存在或为无穷大
则：

泰勒公式

在处具有阶导

取得n阶局部迈克劳林公式：

常用公式

• 推出，即a为首项，x为公比的等比数列的前n项和
• （借此可推出欧拉公式）

单调性与极值、凹凸区间与拐点

注意：凹凸区间包含端点，拐点是坐标

单调性的考虑点：驻点（二阶导为0）、不可导点；（两者都是x=x_0）

极值：先求单调性，列表求极值

不定积分

换元积分法

常用公式

推导：

分部积分法

：对反幂三指，排前作u排后作v

定积分

定积分的换元积分法和分部积分法

• 换元公式
• 分部积分公式

反常积分

定积分几何

曲线弧长：

• 直角：
• 参数：
• 极坐标：

微分方程

一阶线性微分方程

可降阶的高阶微分方程

（只含型）

（含型）

（不含型）

常系数齐次线性微分方程

二阶

令

特征方程的解	通解

高阶

第重根就乘

特征方程的解	通解

常系数非齐次线性微分方程

一般做法：

• 先令，求其特征方程的根
• 右侧化为（有设为复数），得到是重根
• 设出特解
• 解出的系数，得到特解（有的实部；有的虚部）